Problème du sac à dos – Algorithme en Python (knapsack problem)

Le problème du sac à dos en algorithmique (et son implémentation python) est intéressant et fait parti du programme de Sciences numériques et informatique de première.

Ce problème illustre les algorithmes gloutons qui énumèrent toutes les possibilités de résolution d’un problème pour trouver la meilleure solution.

Le problème du sac à dos algorithme python est un problème d’optimisation, c’est à dire une fonction que l’on doit maximiser ou minimiser et des contraintes qu’il faut satisfaire.

Le problème du sac à dos – algorithme Python

Pour un sac à dos de capacité maximale de P et N articles chacun avec son propre poids et une valeur définie, jetez les articles à l’intérieur du sac à dos de telle sorte que le contenu final ait la valeur maximale.

Exemple d’énoncé :

  • Capacité maximum du sac à dos : 11 unités
  • Nombre d’objet : 5
  • Valeurs des objets : {10,50,20,30,60}
  • Poids des objets : {1,5,3,2,4}

Quelles est la valeur maximum qu’il est possible de mettre dans le sac à dos en considérant la contrainte de capacité maximum du sac qui est de 11 ?

Algorithme glouton python

Une solution efficace consiste à utiliser un algorithme glouton. L’idée est de calculer le rapport valeur / poids pour chaque objet et de trier l’objet sur la base de ce rapport calculé .

On prends l’objet avec le ratio le plus élevé et on ajoute jusqu’à ce qu’on ne puisse plus en ajouter.

En version fractionnaire il est possible d’ajouter des fractions d’article au sac à dos.

Implémentation du problème du sac à dos Python – version non fractionnaire

Voici une implémentation du problème du sac à dos python en version non fractionnaire, c’est à dire qu’on ne peut pas ajouter de fraction d’un objet dans le sac. Seul des objets entiers peuvent être ajoutés.

class ObjetSac: 
    def __init__(self, poids, valeur, indice): 
        self.indice = indice         
        self.poids = poids 
        self.valeur = valeur
        self.rapport = valeur // poids 
  #Fonction pour la comparaison entre deux ObjetSac
  #On compare le rapport calculé pour les trier
    def __lt__(self, other): 
        return self.rapport < other.rapport 
  

def getValeurMax(poids, valeurs, capacite): 
        tableauTrie = [] 
        for i in range(len(poids)): 
            tableauTrie.append(ObjetSac(poids[i], valeurs[i], i)) 
  
        #Trier les éléments du sac par leur rapport
        tableauTrie.sort(reverse = True) 
  
        compteurValeur = 0
        for objet in tableauTrie: 
            poidsCourant = int(objet.poids) 
            valeurCourante = int(objet.valeur) 
            if capacite - poidsCourant >= 0: 
                #on ajoute l'objet dans le sac
                #On soustrait la capacité
                capacite -= poidsCourant 
                compteurValeur += valeurCourante
                #On ajoute la valeur dans le sac 
        return compteurValeur 


poids = [1,5,3,2,4] 
valeurs = [10,50,20,30,60] 
capacite = 11
valeurMax = getValeurMax(poids, valeurs, capacite) 
print("Valeur maxi dans le sac à dos =", valeurMax) 

Le résultat obtenu est le suivant :

py sacados.py 
Valeur maxi dans le sac à dos = 120

Implémentation du problème du sac à dos python – version fractionnaire

En version fractionnaire de l’agorithme du sac à dos python on peut ajouter des fractions d’objet au sac à dos.

class ObjetSac: 
    def __init__(self, poids, valeur, indice): 
        self.indice = indice         
        self.poids = poids 
        self.valeur = valeur
        self.rapport = valeur // poids 
  #Fonction pour la comparaison entre deux ObjetSac
  #On compare le rapport calculé pour les trier
    def __lt__(self, other): 
        return self.rapport < other.rapport 
  

def getValeurMax(poids, valeurs, capacite): 
        tableauTrie = [] 
        for i in range(len(poids)): 
            tableauTrie.append(ObjetSac(poids[i], valeurs[i], i)) 
  
        #Trier les éléments du sac par leur rapport
        tableauTrie.sort(reverse = True) 
  
        compteurValeur = 0
        for objet in tableauTrie: 
            poidsCourant = int(objet.poids) 
            valeurCourante = int(objet.valeur) 
            if capacite - poidsCourant >= 0: 
                #on ajoute l'objet dans le sac
                #On soustrait la capacité
                capacite -= poidsCourant 
                compteurValeur += valeurCourante
                #On ajoute la valeur dans le sac 
            else: 
                fraction = capacite / poidsCourant 
                compteurValeur += valeurCourante * fraction 
                capacite = int(capacite - (poidsCourant * fraction)) 
                break
        return compteurValeur 


poids = [1,5,3,2,4] 
valeurs = [10,50,20,30,60] 
capacite = 11
valeurMax = getValeurMax(poids, valeurs, capacite) 
print("Valeur maxi dans le sac à dos =", valeurMax) 

Le résultat obtenu est le suivant :

py sacados.py 
Valeur maxi dans le sac à dos = 140.0

Liens internes algorithme python :

https://128mots.com/index.php/category/python/

https://128mots.com/index.php/2021/01/21/algorithme-glouton-python/
https://128mots.com/index.php/2021/01/19/levenshtein-python/
https://128mots.com/index.php/2021/01/13/algorithme-tri-quantique/

Liens externes algorithme python :

http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/monnaie.pdf

http://www.dil.univ-mrs.fr/~gcolas/algo-licence/slides/gloutons.pdf

Couplage dans un Graphe en moins de 128 mots

Un couplage est un ensemble d’arête deux à deux indépendantes : elle ne partagent pas de sommets.

Exemple de couplage dans un graphe : les 2 arrêtes rouges ne partagent pas de sommets (2 à 2 indépendantes)

Couplage parfait : Chaque sommet du graphe est dans exactement une arrête du couplage

Exemple de couplage parfait dans un graphe

Un graphe parfait a un nombre pair de sommets (la réciproque n’est pas vraie)

Un couplage parfait est un couplage de taille maximale (impossible à agrandir, on ne peut pas coupler plus), la réciproque n’est pas vraie.

Exemple de couplage maximal mais pas de taille max (càd il est possible de faire par exemple un couplage avec 3 arrêtes)

Exemple d’utilisation : Dans une entreprises logistique les salariés ont un ou plusieurs permis leur permettant de rouler un certain type de véhicule. On peut représenter le problème dans un graphe avec comme sommet les salariés et les véhicules de l’entreprise. Pour résoudre le problème il faut alors trouver un couplage de taille max.

Algorithme glouton pour trouver un couplage maximal :

Etape 1 : On sélectionne une arrête aléatoirement et on la mémorise dans une copie du graphe (à gauche)

Sélection de l’arrête

Etape 2 : On supprime les arrêtes qui sont incidentes aux deux sommets et on sélectionne une autres arrête aléatoirement

Etape 3 : On supprime les arrêtes qui sont incidentes aux deux sommets, on obtient alors un couplage maximal