Tri fusion Python – implémentation de l’algorithme

Le tri fusion suit le paradigme diviser pour régner qui consiste à diviser la tâche initiale en deux tâches similaires plus petites. Cet article présente une implémentation du tri fusion python.

Le tri fusion suit le paradigme diviser pour régner qui consiste à diviser la tâche initiale en deux tâches similaires plus petites. Cet article présent une implémentation du tri fusion python.

Introduction

L’algorithme est le suivant :
Diviser en deux moitiés la liste à trier.
On trie chacune d’entre elles.
Fusionner les deux moitiés obtenues pour reconstituer la liste triée.

On applique récursivement cet algorithme c’est à dire jusqu’à ce que la liste à trier soit constituée d’un seul élément.

tri fusion python
Tri fusion (source : wikipedia)
#Tri fusion fonction de division du tableau
def tri_fusion(tableau):
    if  len(tableau) <= 1: 
        return tableau
    pivot = len(tableau)//2
    tableau1 = tableau[:pivot]
    tableau2 = tableau[pivot:]
    gauche = tri_fusion(tableau1)
    droite = tri_fusion(tableau2)
    fusionne = fusion(gauche,droite)
    return fusionne


#Tri fusion fonction de fusion de 2 listes
def fusion(tableau1,tableau2):
    indice_tableau1 = 0
    indice_tableau2 = 0    
    taille_tableau1 = len(tableau1)
    taille_tableau2 = len(tableau2)
    tableau_fusionne = []
    while indice_tableau1<taille_tableau1 and indice_tableau2<taille_tableau2:
        if tableau1[indice_tableau1] < tableau2[indice_tableau2]:
            tableau_fusionne.append(tableau1[indice_tableau1])
            indice_tableau1 += 1
        else:
            tableau_fusionne.append(tableau2[indice_tableau2])
            indice_tableau2 += 1
    while indice_tableau1<taille_tableau1:
        tableau_fusionne.append(tableau1[indice_tableau1])
        indice_tableau1+=1
    while indice_tableau2<taille_tableau2:
        tableau_fusionne.append(tableau2[indice_tableau2])
        indice_tableau2+=1
    return tableau_fusionne

tableau = [11, 222, 3, 899, 24, 5, 46, 67]
print(tableau)
tableau_trie = tri_fusion(tableau)
print(tableau_trie)

A propos de tri fusion

Enfin, Le tri fusion fonctionne par comparaison. La complexité de l’algorithme pour n entrée est n log n, donc asymptotiquement optimal.

La technique est de diviser pour régner. Et l’algorithme fait principalement une opération de fusion (deux listes triées peuvent être fusionnées en temps linéaire).

Tri fusion python : liens externes

https://www.geeksforgeeks.org/merge-sort/

http://lwh.free.fr/pages/algo/tri/tri_fusion.html

https://pixees.fr/informatiquelycee/n_site/isn_algo_diviser_pour_regner.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tri_fusion

https://graal.hypotheses.org/tag/algorithme-de-wagner-fischer

https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Wagner-Fischer

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_de_Levenshtein

https://medium.com/@sddkal/wagner-fischer-algorithm-be0d96893f6d

https://www.python-course.eu/levenshtein_distance.php

Liens internes sur les algorithmes

https://128mots.com/index.php/category/python/

https://128mots.com/index.php/category/graphes/

https://128mots.com/index.php/2020/02/17/lalgorithme-de-dijkstra-dans-un-graphe-pondere-et-oriente-en-plus-de-128-mots/

Pour calculer la distance de Levenshtein avec un algorithme non récursif. On utilise une matrice qui contient les distances de Levenshtein. Alors Ce sont les distances entre tous les préfixes de la première chaîne et tous les préfixes de la seconde chaîne de caractères.

Couplage dans un Graphe en moins de 128 mots

Un couplage est un ensemble d’arête deux à deux indépendantes : elle ne partagent pas de sommets.

Exemple de couplage dans un graphe : les 2 arrêtes rouges ne partagent pas de sommets (2 à 2 indépendantes)

Couplage parfait : Chaque sommet du graphe est dans exactement une arrête du couplage

Exemple de couplage parfait dans un graphe

Un graphe parfait a un nombre pair de sommets (la réciproque n’est pas vraie)

Un couplage parfait est un couplage de taille maximale (impossible à agrandir, on ne peut pas coupler plus), la réciproque n’est pas vraie.

Exemple de couplage maximal mais pas de taille max (càd il est possible de faire par exemple un couplage avec 3 arrêtes)

Exemple d’utilisation : Dans une entreprises logistique les salariés ont un ou plusieurs permis leur permettant de rouler un certain type de véhicule. On peut représenter le problème dans un graphe avec comme sommet les salariés et les véhicules de l’entreprise. Pour résoudre le problème il faut alors trouver un couplage de taille max.

Algorithme glouton pour trouver un couplage maximal :

Etape 1 : On sélectionne une arrête aléatoirement et on la mémorise dans une copie du graphe (à gauche)

Sélection de l’arrête

Etape 2 : On supprime les arrêtes qui sont incidentes aux deux sommets et on sélectionne une autres arrête aléatoirement

Etape 3 : On supprime les arrêtes qui sont incidentes aux deux sommets, on obtient alors un couplage maximal

PageRank Python – Implémentation de l’algorithme en python

PageRank python est un algorithme utilisé par Google Search pour classer les sites Web dans les résultats de leurs moteurs de recherche. PageRank est un moyen de mesurer l’importance des pages de site Web.

pagerank python

Introduction :

Ce n’est pas le seul algorithme utilisé par Google pour ordonner les résultats des moteurs de recherche, mais c’est le premier algorithme utilisé par la société, il est le plus connu.

Le PageRank d’une page est calculé à partir de la somme du PageRank des pages avec un lien entrant à la page calculée que l’on divise par le nombre de pages sortantes de cette dernière, on applique un facteur d’atténuation pour symboliser la probabilité que l’utilisateur surfe sur une autre page.

Implémentation pagerank python :

J’installe networkx, c’est un package Python pour la création, la manipulation et l’étude de la structure, de la dynamique et des fonctions de réseaux complexes.

Networkx fournit des structures de données et des méthodes pour stocker des graphes que j’utilise pour l’algorithme pagerank.

import networkx as nx
import numpy as np

graphe=nx.DiGraph()

tableauPages = ["A","B","C"] #Exemple de page rank avec 3 pages
graphe.add_nodes_from(tableauPages) #Ajout des sommets du graphe

#on ajoute des arcs, on a :
#la page A a un lien vers B 
#la page B a un lien vers C
#la page C a un lien vers B
#la page C a un lien vers A
# la page B a 2 lien entrant
# la page C a un lien entrant 2 liens sortant
# la page A a un lien entrant un lien sortant
graphe.add_edges_from([('A','B'), ('C','A'),('B','C'), ('C','B')])
print("Sommets du graphe : ")
print(graphe.nodes())
print("Arrêtes du graphe : ")
print(graphe.edges())
#Si on considere un facteur d'attenuation de 0.85 = d
# la formule du page rank est :
#PR(p) = (1-d)/n + d * Somme de toutes les pages(PR(i) des lien entrants à p/nombre de lien sortant de la page qui reference p)
# PR(A) = (1-0,85)/3 + 0,85 * (PR(C)/2)
# PR(B) = (1-0,85)/3 + 0,85 * (PR(A)/1 + PR(C)/2)
# PR(C) = (1-0,85)/3 + 0,85 * (PR(B)/1)

pagerank = nx.pagerank(graphe)
print(pagerank)

Pagerank python liens externes :

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_k_plus_proches_voisins

https://www.python.org/

https://www.educative.io/blog/python-algorithms-coding-interview

Liens internes :

https://128mots.com/?s=dijkstra

Tri par tas Python – implémentation de l’algorithme en Python

L’algorithme du tri par tas est un algorithme de tri par comparaison. Cet article vous done le code du tri par tas python.

L'algorithme du tri par tas python est un algorithme de tri par comparaison. Cet article vous done le code du tri par tas python.

Le principe de l’algorithme du tri par tas python est le suivant :

  1. Alors on recherche le père du dernier nœud de l’arbre et on le tamise : le père d’un noeud dans un arbre binaire corresponds à l’arrondi inférieur de (i-1)/2 avec i la position du noeud dans le tableau qui stocke l’arbre.
  2. Le tamisage d’un noeud consiste à visiter son fils droit et son fils gauche et permuter la racine avec le plus grand des deux.
  3. Et il faut tamiser l’arbre jusqu’à arriver à la racine, le plus grand nombre de l’arbre se retrouve alors en position de racine au début du tableau.
  4. On permute la racine qui est le plus grand nombre avec la dernière feuille (soit la position n du tableau qui stocke l’arbre de taille n). On considère alors que ce nombre est bien ordonné (càd il est en dernière position et c’est le plus grand)
  5. Enfin, l’opération de tamisage et permutation est réitérée en considérant le sous arbre qui va de la racine à n-1 (pour ne pas déplacer le nombre qui a été correctement ordonné) jusqu’à ce qu’on arrive au fils gauche de la racine (l’indice 1)

Voir le lien wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tri_par_tas

from math import *
#128mots.com
def indice_fils_gauche(noeud_pere:int):
	return (noeud_pere * 2)+ 1

def indice_fils_droit(noeud_pere:int):
	return (noeud_pere * 2) + 2
#Retourne l'indice du noeud pere si il existe (noeud doit être > 0)
def indice_noeud_pere(noeud):
	#Si il existe il s'agit de l'arrondi inférieur de (noeud-1)/2
	return floor((noeud - 1)/2)

#permute 2 éléments d'un tableau et incrément la variable globale compteur_permutation à initialiser dans le main
def permute(tableau, indice1: int, indice2:int):
	print("Permutation de l'élément " + str(indice1) + " avec l'element " + str(indice2))
	print("**Avant permutation : " + str(tableau))
	global compteur_permutation
	if(indice1 != indice2):
	#on sauvegarde la valeur de l'indice 1 dans une variable temporaire
		tmp = tableau[indice1]
		tableau[indice1] = tableau[indice2]
		tableau[indice2] = tmp
		compteur_permutation += 1
	print("**Apres permutation : " + str(tableau))

#Tamise un arbre binaire à partir d'un noeud en parametre
#1. on compare le noeud avec le fils droit et le fils gauche (si ils existent)
#2. on permute avec la plus grande valeur
#128mots.com
def tamise(arbre,noeud,longueur):
	#On visite le fils droit et le fils gauche
	print("++Tamisage de " + str(noeud) + " arbre: " + str(arbre))	
	indiceFilsDroit   = indice_fils_droit(noeud)
	indiceFilsGauche  = indice_fils_gauche(noeud)
	print("indiceFilsDroit>>" + str(indiceFilsDroit))
	print("indiceFilsGauche>>" + str(indiceFilsGauche))


	if(indiceFilsDroit < longueur): # si le fils droit existe
		if(arbre[indiceFilsDroit] > arbre[indiceFilsGauche]): #Si le fils droit est plus grand que le fils gauche
			if(arbre[indiceFilsDroit] > arbre[noeud]): #Si le fils droit est plus grand que le noeud tamisé
				permute(arbre,indiceFilsDroit,noeud)
		elif(arbre[indiceFilsGauche] > arbre[noeud]): #Si le fils gauche est supérieur au noeud tamisé alors on permute
			permute(arbre,indiceFilsGauche,noeud)
	elif(indiceFilsGauche < longueur): #Si le fils gauche existe
		if(arbre[indiceFilsGauche] > arbre[noeud]): #Si le fils gauche est supérieur au noeud tamisé alors on permute
			permute(arbre,indiceFilsGauche,noeud)
	print("++Apres tamisage : " + str(arbre))			
#128mots.com

compteur_permutation = 0
arbre = [11, 222, 3, 24, 5, 46, 67, 899] #On écrit un arbre sous forme de tableau
print("démarrage arbre : " + str(arbre))

#128mots.com
#Tamisage initial
#on prend le dernier élément de l'arbe qui est une feuille et on recherche son père
indiceDuNoeudPere = indice_noeud_pere(len(arbre)-1) 
#on tamise càd on compare le noeud pere avec le fils droit et le fils gauche
#puis on permute avec la plus grande valeur
for i in range(indiceDuNoeudPere,-1,-1): #On tamise jusqu'à la racine
	tamise(arbre,i,len(arbre))

permute(arbre,len(arbre)-1,0) #on permute le premier element et le dernier 
#suite au tamisage c'est la plus grande valeur on la place donc à la fin du tableau

#on répete le tamisage
for i in range(len(arbre)-1,1,-1): 
	indiceDuNoeudPereDeI = indice_noeud_pere(i-1) #on prend l'élément i de l'arbe qui est une feuille et on recherche son père
	for j in range(indiceDuNoeudPereDeI,-1,-1): #On tamise jusqu'à la racine
		tamise(arbre,j,i)
	permute(arbre,i-1,0)

print("resultat final du tri : " + str(arbre))
print("nombre de permutation : " + str(compteur_permutation))

Conclusion

En conclusion, L’algorithme est utilisé pour trier sur place les éléments d’un tableau en un temps de l’ordre de n log ⁡ n.

Et l’étape qui coûte le plus dans cet algorithme est la seconde boucle (extraction des éléments du tas).

Enfin, et algorithme a l’avantage de consommer peu de mémoire par rapport à d’autres algorithme de tri.

Tri pas tas python : liens externes

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tri_par_tas

https://fr.wikipedia.org/wiki/Smoothsort

https://wiki.inria.fr/sciencinfolycee/Le_tri_par_tas

http://perso.numericable.fr/jules.svartz/prepa/IPT_spe/TP_tris_efficaces_tas.pdf

https://www.prepabellevue.org/index.php?module=Site&voir=document&id_document=589

Liens internes sur les algorithmes

https://128mots.com/index.php/2021/01/13/algorithme-tri-quantique/

https://128mots.com/index.php/category/python/

https://128mots.com/index.php/category/graphes/

Tri rapide en Python en moins de 128 mots

Le tri rapide (QuickSort) choisir aléatoirement un élément (appelé pivot) et de le positionner à sa place définitive, en permutant tous les éléments pour que ceux qui sont inférieurs au pivot soient à sa gauche et que ceux qui sont supérieurs au pivot soient à sa droite.

L’opération est appelée le partitionnement. Pour chacune des sous-listes (ou sous-tableaux), on choisit aléatoirement un nouveau pivot et on répète l’opération de partitionnement. Ce processus est répété récursivement, jusqu’à ce que tous les éléments soit trié.

Le partitionnement consiste à :

  • permuter le pivot avec le dernier élément du sous-tableau
  • placer en début du sous-tableau les éléments inférieurs au pivot
  • déplacer le pivot à droite du dernier élément déplacé en début de tableau (les autres éléments étant supérieur au pivot).
Exemple d’une itération de partitionnement (source wikipedia) : Ici le pivot est 5
from random import randint 


#Choix d'un pivot aléatoirement
#128mots.com
def choix_pivot(tableau,premier: int,dernier: int):
	pivot = randint(premier,dernier) 
	print("La sous-liste non triée est : " + str(tableau[premier:dernier+1]))
	print("Le pivot choisi aleatoirement est l'indice " + str(pivot) + " de valeur =" + str(tableau[pivot]))
	return pivot

#Fonction pour effectuer le partitionnement du tableau
#Permutation de tous les éléments pour que ceux qui sont inférieurs au pivot
# soient à sa gauche et que tous ceux qui sont supérieurs au pivot 
#soient à sa droite. 
#128mots.com
def partitionner(tableau, debut: int, fin: int, pivot: int):
	#Etape 1 : on positionne le pivot à la fin de la sous-liste arbitrairement	
		#On permute le pivot et le dernier element
	print("Partitionnement de la sous-liste = " + str(tableau[debut:fin+1]))
	print("---Placement du pivot à la fin la sous-liste")
	permute(tableau, pivot, fin)
	print("---")

	j = debut #indice d'avancement dans le début de la sous-liste
	#Pour i du début de la sous-liste à la fin
	for i in range(debut,fin):	
	#Tous les élément inférieur au pivot sont placés au début de la sous-liste
		if(tab[i] <= tab[fin]):
		#Si la valeur est inférieure on déplace au début du tableau
		#Et que la valeur n'est pas déjà bien placée alors on déplace au début du tableau
			permute(tableau,i,j)
			j+=1	
	#On place le pivot à la bonne place en permuttant l'élément après le dernier trouvé comme inférieur au pivot
	print("**permutation du pivot")
	permute(tableau,fin,j)
	#on retourne la position de j qui est alors la nouvelle position du pivot dans le tableau
	return j	


#Fonction de permutation de deux élément d'un tableau
#128mots.com
def permute(tableau, indice1: int, indice2:int):
	print("Permutation de l'élément " + str(indice1) + " avec l'element " + str(indice2))
	print("**Avant permutation : " + str(tab))
	global compteur_permutation
	if(indice1 != indice2):
	#on sauvegarde la valeur de l'indice 1 dans une variable temporaire
		tmp = tableau[indice1]
		tableau[indice1] = tableau[indice2]
		tableau[indice2] = tmp
		compteur_permutation += 1
	print("**Apres permutation : " + str(tab))

#Fonction de tri rapide d'une sous-liste d'un tableau
#128mots.com
def  tri_rapide(tableau,debut: int,fin: int):
	# Si on a une sous-liste qui contient au moins 2 éléments
	if debut < fin :
		#on choisit un pivot dans la sous-liste
		pivot = choix_pivot(tableau,debut,fin)
		#on déplace tout les élément inférieur au pivot à gauche du pivot
		pivot = partitionner(tableau,debut,fin,pivot)
		#recursion pour refaire l'algorithme sur la sous-liste à gauche du pivot trouvé
		tri_rapide(tableau,debut,pivot - 1)
		#recursion pour refaire l'algorithme sur la sous-liste à droite du pivot trouvé
		tri_rapide(tableau,pivot + 1,fin)


compteur_permutation = 0
tab = [111, 34, 22, 55, 4, 2, 1, 77]
tri_rapide(tab,0,len(tab)-1)
print("resultat final du tri : " + str(tab))
print("nombre de permutation : " + str(compteur_permutation))

La sortie du programme est la suivante :

La sous-liste non triée est : [111, 34, 22, 55, 4, 2, 1, 77]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 6 de valeur =1
Partitionnement de la sous-liste = [111, 34, 22, 55, 4, 2, 1, 77]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 6 avec l'element 7
**Avant permutation : [111, 34, 22, 55, 4, 2, 1, 77]
**Apres permutation : [111, 34, 22, 55, 4, 2, 77, 1]
---
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 7 avec l'element 0
**Avant permutation : [111, 34, 22, 55, 4, 2, 77, 1]
**Apres permutation : [1, 34, 22, 55, 4, 2, 77, 111]
La sous-liste non triée est : [34, 22, 55, 4, 2, 77, 111]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 5 de valeur =2
Partitionnement de la sous-liste = [34, 22, 55, 4, 2, 77, 111]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 5 avec l'element 7
**Avant permutation : [1, 34, 22, 55, 4, 2, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 34, 22, 55, 4, 111, 77, 2]
---
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 7 avec l'element 1
**Avant permutation : [1, 34, 22, 55, 4, 111, 77, 2]
**Apres permutation : [1, 2, 22, 55, 4, 111, 77, 34]
La sous-liste non triée est : [22, 55, 4, 111, 77, 34]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 4 de valeur =4
Partitionnement de la sous-liste = [22, 55, 4, 111, 77, 34]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 4 avec l'element 7
**Avant permutation : [1, 2, 22, 55, 4, 111, 77, 34]
**Apres permutation : [1, 2, 22, 55, 34, 111, 77, 4]
---
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 7 avec l'element 2
**Avant permutation : [1, 2, 22, 55, 34, 111, 77, 4]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 55, 34, 111, 77, 22]
La sous-liste non triée est : [55, 34, 111, 77, 22]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 4 de valeur =34
Partitionnement de la sous-liste = [55, 34, 111, 77, 22]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 4 avec l'element 7
**Avant permutation : [1, 2, 4, 55, 34, 111, 77, 22]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 55, 22, 111, 77, 34]
---
Permutation de l'élément 4 avec l'element 3
**Avant permutation : [1, 2, 4, 55, 22, 111, 77, 34]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 55, 111, 77, 34]
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 7 avec l'element 4
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 55, 111, 77, 34]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 111, 77, 55]
La sous-liste non triée est : [111, 77, 55]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 5 de valeur =111
Partitionnement de la sous-liste = [111, 77, 55]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 5 avec l'element 7
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 111, 77, 55]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
---
Permutation de l'élément 5 avec l'element 5
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
Permutation de l'élément 6 avec l'element 6
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 7 avec l'element 7
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
La sous-liste non triée est : [55, 77]
Le pivot choisi aleatoirement est l'indice 6 de valeur =77
Partitionnement de la sous-liste = [55, 77]
---Placement du pivot à la fin la sous-liste
Permutation de l'élément 6 avec l'element 6
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
---
Permutation de l'élément 5 avec l'element 5
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**permutation du pivot
Permutation de l'élément 6 avec l'element 6
**Avant permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
**Apres permutation : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
resultat final du tri : [1, 2, 4, 22, 34, 55, 77, 111]
nombre de permutation : 10

Le nombre de permutation est 10 pour un tableau de 8 éléments.

La complexité moyenne du tri rapide est Θ(n log n) soit 7.22 pour un tableau de 8 éléments.

Tri par sélection Python – Implémentation de l’algorithme

Tri par sélection python : Implémentation de l’algorithme exemple complet avec code source.

tri par sélection python
tab = [111, 34, 22, 55, 4, 2, 1, 77]

for i in range(0,len(tab)-1):
	min = i
	for j in range(i+1,len(tab)):
		if tab[j]<tab[min]:
			min = j
	if (min != i):
		tmp = tab[i]
		tab[i] = tab[min]
		tab[min] = tmp

print(tab)

Introduction :

Si on considère l’opération de comparaison “if tab[j]<tab[min]” et n la taille du tableau.

Si i = 0 ==> (n-1) comparaisons

Si i = 1 ==> (n-2) comparaisons

… Si i = n-2 ==> 1 comparaison

soit n * (n-1) comparaisons

Donc la boucle for i in range(0,len(tab)-1): s’exécute n-1 fois

La boucle for j in range(i+1,len(tab)): s’exécute (n-(i+1) + 1) fois

La complexité en nombre de comparaison est égale à la somme des n-1 termes suivants (i = 1, …i = n-1)

C = (n-2)+1 + (n-3)+1 +…..+1+0 = (n-1)+(n-2)+…+1 = n.(n-1)/2 (c’est la somme des n-1 premiers entiers).

La complexité en nombre de comparaison est de de l’ordre de n², on écrit O(n²).

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https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_k_plus_proches_voisins

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