L’algorithme d’Euclide est l’un des algorithmes les plus anciens et les plus fondamentaux en mathématiques. Il est utilisé pour calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers, c’est-à-dire le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste. Dans cet article, nous allons explorer en détail l’algorithme d’Euclide, comprendre comment il fonctionne et fournir des exemples de code pour l’implémenter en Python.
Qu’est-ce que le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) ?
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres entiers, généralement notés a et b, est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b sans laisser de reste. En d’autres termes, c’est le plus grand nombre que les deux nombres partagent comme diviseur commun. Le PGCD est un concept mathématique fondamental et il est souvent utilisé pour simplifier les fractions et résoudre divers problèmes mathématiques.
Principe de l’Algorithme d’Euclide
L’algorithme d’Euclide repose sur le principe suivant : le PGCD de deux nombres a et b est égal au PGCD de b et du reste de la division de a par b. Autrement dit, si nous notons r comme le reste de la division de a par b, alors :
PGCD(a, b) = PGCD(b, r)
La clé de l’algorithme est de répéter cette opération de division jusqu’à ce que le reste r soit égal à zéro. À ce stade, le dernier diviseur non nul est le PGCD de a et b.
Exemple d’Implémentation en Python
Voici un exemple de code Python illustrant l’algorithme d’Euclide :
def euclidean_gcd(a, b):
while b:
a, b = b, a % b
return a
# Exemple d'utilisation
x = 48
y = 18
pgcd = euclidean_gcd(x, y)
print(f"Le PGCD de {x} et {y} est {pgcd}")
Dans cet exemple, la fonction euclidean_gcd prend deux entiers a et b en entrée et utilise une boucle while pour répéter l’opération de division jusqu’à ce que b devienne zéro. Ensuite, la fonction retourne a, qui est le PGCD recherché.
import matplotlib.pyplot as plt
def euclidean_algorithm(a, b):
steps = []
while b:
quotient = a // b
remainder = a % b
steps.append((a, b, quotient, remainder))
a = b
b = remainder
return a, steps
def visualize_euclidean_algorithm(a, b):
gcd, steps = euclidean_algorithm(a, b)
# Create a bar chart to visualize the steps
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
bar_labels = [f'Step {i + 1}' for i in range(len(steps))]
# Extract values for the chart
quotients = [step[2] for step in steps]
remainders = [step[3] for step in steps]
# Create bars for quotients and remainders
ax.bar(bar_labels, quotients, color='blue', label='Quotient')
ax.bar(bar_labels, remainders, color='red', label='Remainder', bottom=quotients)
ax.set_xlabel('Steps')
ax.set_ylabel('Values')
ax.set_title(f'Euclidean Algorithm for GCD({a}, {b})')
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
a = int(input("Enter the first number: "))
b = int(input("Enter the second number: "))
gcd, _ = euclidean_algorithm(a, b)
print(f"The GCD of {a} and {b} is {gcd}")
visualize_euclidean_algorithm(a, b)
Liens Externes et Ressources Utiles
- Algorithme de Dijkstra : Un autre algorithme fondamental dans le domaine des mathématiques et de l’informatique.
- Calculateur de l’Algorithme de Dijkstra : Un outil interactif pour comprendre et expérimenter avec l’Algorithme de Dijkstra.
- Livre « Algorithms » de Dasgupta : Une ressource complète sur divers algorithmes mathématiques.
Pour approfondir votre compréhension de l’algo d’Euclide et de ses applications, vous pouvez consulter les ressources suivantes :
- Wikipédia – Algorithme d’Euclide : Une source d’information fiable qui explique en détail l’algorithme d’Euclide et son histoire.
- Math StackExchange – Euclid’s Algorithm : Une communauté de mathématiciens en ligne où vous pouvez poser des questions et trouver des réponses sur l’algorithme d’Euclide.
- Cut-the-Knot – Euclidean Algorithm : Une ressource éducative interactive qui offre une démonstration visuelle de l’algorithme d’Euclide.
Conclusion
L’algorithme d’Euclide est un outil puissant pour calculer le PGCD de deux nombres. Il repose sur un principe simple mais efficace, qui peut être implémenté facilement dans de nombreux langages de programmation, y compris Python. Comprendre l’essence de cet algorithme est essentiel pour les mathématiciens, les informaticiens et les amateurs de mathématiques, car il trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment la théorie des nombres, la cryptographie et la simplification de fractions.
Si vous souhaitez en savoir plus sur d’autres algorithmes mathématiques ou informatiques, n’hésitez pas à explorer les liens externes et les ressources suggérés ci-dessus.
