Comment modéliser la forme d’un tas de sable ?

Comment modéliser la forme d’un tas de sable ? Si on verse du sable sec sur une surface plane, la forme de ce tas de sable va être pyramidale. Le tas de sable a alors une pente qui est constante.

Pour modéliser le tas de sable il faut résonner en dimension 1 comme si on effectuait une coupe.

On obtiens alors un triangle de bas B dont les 2 pentes sont constante et symétriques . On peut noter f(x) la fonction qui modélise la hauteur du tas en fonction de l’abscisse.

Dans ce cas la pente est la dérivée f'(x) par rapport à x. Sachant que la pente est constante alors on sait que f'(x) = constante.

C’est une équation différentielle.

Or on sait que pour x = B (la base du tas de sable) f'(x) = 0 et pour x=0 f'(x) = B.

Alors avec ces 2 conditions on peut résoudre l’équation différentielle pour une pente p la solution est :

on a la fonction f(x) = p . x pour x compris entre 0 et B/2. Et pour x compris entre B/2 et 0 on a f(x) = B – p.x.

Ci-dessous voici un exemple avec p = 2/3 et B = 4 :

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https://fr.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

https://fr.wikipedia.org/wiki/Avast_Antivirus

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